定義 encoding 與 decoding，各示範一例；證明任意長度 n−2 的 word over [n] 都能 decode 成 tree，並驗證兩個構造互為 inverses。

驗收：Decoding 為什麼不會產生 cycle？下一個要接上的 leaf 如何唯一確定？

閱讀 tree 與 leaf 的定義，以及 SAG Lemma 1.10.1。與 BPP-128 採同一 Prüfer 證法時，視為同一報告內容。

以 ordered set partitions 解釋 ∑_k(−1)^kk!S(n,k)=(−1)ⁿ；完整定義 split／merge，證明 map 是 sign-reversing 且操作兩次回到原物件，並找出所有 fixed points。

驗收：第一次操作後，為什麼第二次仍然會選中相同位置？

先說明 Stirling numbers of the second kind 與 set partitions 的定義。

閱讀順序：S02 → 本題。

利用 directed paths，將兩個 signed sets 間的 bijection 轉成 fixed-point sets 間的 bijection；證明構造會終止、反向構造合法，並完成一個 finite example。

驗收：從 fixed point 出發，為什麼不可能陷入 directed cycle？

範圍止於 Theorem 2.3.2，不包含後面的 partition identity 應用。

閱讀順序：S02 → 本題。

完整證明兩條 intersecting paths 交換 tails 的 cancellation argument，並算一個 2×2 determinant。一般 n 條 paths 的形式僅作延伸敘述。

驗收：交換後再按同一規則操作，為什麼回到原 paths？Endpoints 的 compatibility condition 用在哪裡？

需熟悉 determinant expansion；主證 Lemma 2.5.2，一般形式見 Lemma 2.5.4。

建立 oriented incidence matrix 與 Laplacian 的關係。可引用 Cauchy–Binet Theorem；須證明相應 subdeterminant 在 spanning tree 情形為 ±1，否則為 0，並計算一個小 graph。

驗收：每個非零的平方項為什麼恰對應一棵 spanning tree？

限 principal cofactor 版本；需熟悉 matrix multiplication、determinants 與 trees 的定義。

證明 rook numbers 在 falling factorial basis 下的 product formula；用一個 3-column board 計算兩側，並由公式說明 rook equivalence 的判準。

驗收：被 factorize 的是哪個 polynomial？為什麼不是 ordinary rook polynomial 的直接 linear factorization？

使用大二 permutations with forbidden positions 的背景；補讀 EC1 §2.3 的 rook numbers 定義。

定義 Gaussian binomial coefficient，以 rectangle 內 Ferrers diagram 的 cell 數作 area statistic，證明其 generating polynomial 符合 q-Pascal recurrence 及 initial conditions；完整計算 2×3 rectangle。

驗收：Recurrence 中 q 的 exponent，對應刪去哪些 cells？

需說明 Ferrers diagram；不在同場加入 finite vector spaces 的計數。

證明將 nonempty components 以 unordered set 組裝，對應 Exponential Formula；將公式用於 labeled graphs，推導 connected graph 數的 recurrence，算到 n=4。

驗收：為什麼要除以 k!？為什麼 component 不可以是 empty object？

使用已學的 EGF product rule；補讀 SAG Theorem 4.4.2。

以 alphabet {1,2,3} 上不含 factors 11、23 的 words 為例，建立 state digraph 與 transfer matrix；證明 matrix powers 的 combinatorial interpretation，推導 word 數的 generating function。

驗收：Word length n 為什麼對應 n−1 次 transitions？Initial states、final states 與 empty word 如何處理？

使用 matrix multiplication 與 OGF；主例為 EC1 Example 4.7.6。

以 A(n,k) 計數恰有 k 個 descents 的 permutations。分析各 insertion slots，證明 recurrence、initial conditions 與 symmetry，並列出 n=4 的 polynomial。

驗收：哪些 insertion slots 會增加一個 descent？為什麼兩類位置恰好涵蓋所有 slots？

本題不講 generating function 的推導；須明確固定 descents 的計數 convention。

閱讀順序：S10 → 本題。

在每個 descent 後至少放一道 bar，從兩種方式計數同一批 barred permutations，得到 Theorem 4.2.4，再推導 Theorem 4.2.5 的 EGF。

驗收：相鄰的 bars 代表什麼？為什麼每一個 descent 都必須被隔開？

全程使用 A_n(q)=∑_π∈Snq^des(π)，不可中途改成 des+1。

閱讀順序：S10 → 本題。

定義 major index；逐類說明插入 maximum 時，major index 的增量恰為 0,…,n−1，據此證明 generating polynomial 為 q-factorial，並與 inv 比較。

驗收：Insertion 時哪些舊 descents 會平移？哪些位置會新增或取代 descent？

補讀 SAG Theorem 3.2.1 的 inv insertion argument。本題採 insertion recurrence 證明；BPP-70 的 bijection 任務另依其題意。

按 maximum 的位置分解 alternating permutations，證明 binomial convolution；推導相應 differential equation 與 EGF，並交代 initial conditions。

驗收：為什麼 recurrence 有因子 2？Up-down 與 down-up 的 convention 如何保持一致？

需 EGF 與簡單 differential equations；與 BPP-72／73 重複的部分，不另算新的報告內容。

定義 pattern containment。以 maximum 分割 permutation，證明兩側的大小限制、standardization 與反向組裝，從而得到 Catalan recurrence 及 initial conditions。

驗收：把左右兩個較小的 permutations 組回去，為什麼不會產生跨越兩側的 132-pattern？

Catalan recurrence 可引用；本題重點是新的 permutation model，不重講基本 Catalan path 計數。

閱讀順序：S14 → 本題。

定義教材中的 stack-sorting map，完整跑一次例子，再證明 stack-sortable 與 231-avoiding 兩條件等價。

驗收：遇到 231-pattern 時，哪一對 entries 的 output order 必定出錯？反方向如何保證？

限一次指定的 stack-sorting 操作，不包含兩次或其他 multi-stack models。

閱讀順序：S10 → 本題。

定義 Stirling permutations，藉插入相鄰的 nn 證明總數為 (2n−1)!!，再按 descents 分類推導 second-order Eulerian recurrence。

驗收：為什麼 maximum 的兩個 copies 必相鄰？哪些 insertion slots 不改變 descent 數？

依 GS78 將 terminal position 算作一個 descent；只讀 §2 的 insertion argument 與總數討論。

介紹 poset 與 Hasse diagram，建立 finite poset P 的 order ideals 與 antichains 之間的 bijection；在一個不是 total order 的小例子中列出兩邊。

驗收：由 order ideal 的 maximal elements 能否恢復整個 order ideal？反方向得到的 subset 為什麼真是 antichain？

需區分 minimal／minimum 與 maximal／maximum。

閱讀順序：S17 → 本題。

完整證明 finite poset 的最大 antichain 大小，等於將它分割成 chains 所需的最少 chains 數；給一個具體 poset 與 minimum chain partition。

驗收：Inductive proof 的兩種情況是否涵蓋全部 posets？構造出的 chains 為什麼不重不漏？

主證 Theorem 5.6.2；Theorem 5.6.1 僅作對照，不將兩者混為 order reversal。

閱讀順序：S17 → 本題。

從 recursive definition 計算 chain 與 Boolean lattice 的 Möbius function，證明 direct product 上的 product formula，並計算 C₂×C₁ 的例子。

驗收：為什麼 direct product 的候選公式符合定義？μ(x,y) 的兩個 variables 各代表什麼？

依 SAG 的 convention，C₂ 是含三個 elements 的 chain，C₁ 含兩個 elements。

閱讀順序：S17、S19 → 本題。

固定 linear extension，證明 convolution 對應 matrix multiplication；以一個 4-element poset 寫出 zeta matrix，實際求 inverse 並辨認 Möbius function。

驗收：Matrix 的哪些 entries 必須為 0？為什麼 multiplication 後仍保留這些限制？

主證 Theorem 5.5.4 與所需的 inverse 關係，不逐一報告所有 algebra axioms。

閱讀順序：S19 → 本題。

證明一種 summation direction 的 Möbius Inversion Theorem；以 Boolean lattice 解釋「至少滿足」與「恰滿足」條件的兩種計數，推出 inclusion-exclusion formula。

驗收：交換 summation order 後，哪個 inner sum 化為 Kronecker delta？各 counting functions 的定義是否一致？

主證 Theorem 5.5.5 的一個形式，應用為 Theorem 5.5.7；需明確寫出 partial order 的方向。

閱讀順序：S19 → 本題。

解釋 partition lattice 中 lower intervals 的 direct product decomposition，再證明 μ(Π_n)=(−1)ⁿ⁻¹(n−1)!；以 Π₃ 逐點計算核對。

驗收：每個 block 的 factor 為什麼是 (|B|−1)!？Permutation 的 cycle structure 如何進入證明？

需先說明 refinement order；使用 SAG Proposition 5.2.1(c) 的 interval decomposition。

閱讀順序：S17 → 本題。

介紹 meet、join、distributive lattice 與 join-irreducible element；用一個 J(P) 例子說明表示，再構造 L 與 J(Irr(L)) 間互為 inverses 的 order-preserving maps。

驗收：Distributive law 在哪一步不可省？一個 order-preserving bijection 是否就足以保證 poset isomorphism？

限 finite lattices，閱讀 Propositions 5.3.5–5.3.6 至 Theorem 5.3.7。

以 square 的 vertex colorings 定義 group action、orbit 與 stabilizer；證明 Orbit–Stabilizer Theorem，找出至少兩種不同的 orbit sizes。

驗收：為什麼不能一律用物件總數除以 group order？Fixed point 與 orbit 有何不同？

使用 finite groups；需先閱讀 SAG §6.1 的 group action 定義。

閱讀順序：S24 → 本題。

以 double counting 證明 Burnside’s lemma，再列出四種 rotations 的 cycle structure 與 fixed colorings 數，求四珠 r 色 necklaces 的 rotation orbits 數。

驗收：一個 coloring 被多少 group elements 固定？為什麼不能只數 conjugacy classes 而漏乘 class sizes？

本題只把 rotations 視為相同，不加入 reflections。

閱讀順序：S25 → 本題。

建立 C₄ 的 cycle index；證明將第 i 個 variable 代為 1+tⁱ，可得到依 subset size 分類的 orbit generating polynomial。

驗收：被 group element 固定的 subset，為什麼必須是若干完整 cycles 的 union？

主證 Lemma 6.3.1 與 Theorem 6.3.2(a)，不只列 cycle index 的定義。

閱讀順序：S26 → 本題。

證明 Redfield–Pólya Theorem 的 weight substitution formula；用 square 的 two-color colorings，取出指定各 color 數量的 coefficient，並與直接分類核對。

驗收：長度 i 的 cycle 為什麼貢獻 xⁱ+yⁱ，而不是 (x+y)ⁱ？

主證 Theorem 6.4.2；採用的 group 及其對 vertices 的 action 必須明寫。

閱讀順序：S07、S24 → 本題。

定義 cyclic sieving，證明教材的 multiset 例子：fixed-point count 等於指定 Gaussian polynomial 在 root of unity 的值；先示範 n=4、k=2。

驗收：Polynomial 寫成 quotient 時，在 root of unity 代入的 0/0 如何處理？固定的是 multiset 還是 ordinary set？

需 roots of unity；範圍限 Theorem 6.6.2 與所列 lemmas，不展開一般 CSP 理論。

按一條 edge 的兩個 endpoints 是否同色分類，推導 deletion–contraction formula，證明 proper coloring 的數量是可用 color 數量的 polynomial，並完整計算 C₄。

驗收：Edge contraction 與 endpoints 同色的 colorings 之間，如何建立對應？出現 multiple edges 時如何處理？

補讀 SAG §1.9 的 graph theory 定義；不涉及 Four-Color Theorem。

閱讀順序：S29 → 本題。

定義 acyclic orientation，證明相應的 deletion–contraction relation，導出 P(G,−1)=(−1)^|V|a(G)，並在 triangle 上核對。

驗收：一個 orientation 在什麼情形能沿新 edge 取兩種 directions？哪些 orientations 能與 contracted graph 配對？

主證 SAG Theorem 3.8.6；需要 digraph 與 directed cycle 的定義。

定義 SDR 與 marriage condition，證明 necessity 與 sufficiency；sufficiency 須處理教材 inductive proof 的兩種情況，並舉成功與失敗例各一。

驗收：選出部分 representatives 後，剩餘 set family 為什麼仍滿足 Hall’s condition？

限 finite set families；不包含 maximum matching algorithm。

以三對或四對例子示範 deferred acceptance，證明 algorithm 會終止、得到 complete matching，且沒有 blocking pair。

驗收：曾被拒絕的 proposer，為什麼不可能在最後形成 blocking pair？

限制兩側人數相等，且 preference lists 完整、strict；不包含 proposer-optimality。

閱讀順序：S31 → 本題。

由各 columns 缺少的 symbols 構成 set family，以 double counting 驗證 Hall’s condition，得到下一個 row，再逐 row 補成 Latin square；完成一個 2×4 例子。

驗收：為什麼任取 k 個 columns，missing-symbol sets 的 union 至少有 k 個 elements？

須先定義 Latin rectangle；不將結論擴張到任意 partial Latin square。

取 λ=1，以 double counting 推出 v≡1 或 3 (mod 6) 的 necessary condition；由兩個 3-point systems 建立 9-point system，逐類驗證每對 points 恰落在一個 block。

驗收：同 row、同 column 與不同 row、column 的 point pairs，分別由哪一類 block 唯一覆蓋？

主讀 Theorem 10.3.1 與 Theorem 10.3.2 後的 9-point example；不證一般 existence theorem。

對 prime p，由 L_r(i,j)=ri+j (mod p) 建立 p−1 個 Latin squares，證明 Latin property 與 pairwise orthogonality，並示範 p=3 或 5。

驗收：兩個 ordered pairs 相同時，在哪裡用到 p 為 prime 與 r≠s？

限 prime order，不加入 prime-power order 的 finite-field construction。

閱讀順序：S29 → 本題。

可引用 planar graph 有 degree≤5 的 vertex；證明 two-color connected component 換色後仍是 proper coloring，並以 induction 處理 degree 5 的情形，完成 Five-Color Theorem。

驗收：為什麼兩條連接交錯 neighbors 的 Kempe chains 不可能同時出現？

需 plane embedding、Euler’s formula 與 BRU Theorem 12.2.2；主證 Theorems 12.3.1–12.3.2。

先完成教材的 three-color example，再建立一般 multicolor Ramsey recurrence 與 inductive proof，說明 initial conditions 和各 parameters 的角色。

驗收：選定 vertex 後，哪個 color class 的 neighbors 足以套用 induction hypothesis？

使用大二的 two-color Ramsey theory 背景；不包含 hypergraph 版本。

定義 random edge coloring，計算固定 k-element vertex set 所形成的 clique 為 monochromatic 的 probability，以 union bound 得到至少發生一個 bad event 的 probability 小於 1 的條件，推出 Theorem 的 lower bound。

驗收：哪些 events 並不 independent？為什麼 union bound 仍然成立？

須交代 parameter ranges 與 rounding；範圍為 BON2 Theorem 15.5，不查最新紀錄。

以 edge set 非空的 finite simple graph 為對象，利用 random vertex bipartition 與各 edges 的 indicator variables，證明存在保留超過一半 edges 的 bipartite subgraph。

驗收：為什麼只需 linearity of expectation，不需 independence？如何從 expectation 推出至少一個 outcome 存在？

閱讀 Theorems 15.18、15.21–15.22，完整說明得到 strict inequality 的理由。

從 SSYT 的 weighted sum 定義 Schur function，建立交換相鄰 variables 的 Bender–Knuth involution；證明結果仍是 SSYT、對應的 weights 互換，且操作兩次回到原 tableau。

驗收：哪些 i、i+1 必須保留不動？其餘 entries 交換後，為什麼仍滿足 columns strictly increasing？

需 Young diagrams 與 SSYT；只證 Proposition 7.2.1，不講 symmetric functions 的全部 bases。

介紹 SYT，說明 P 與 Q 各記錄什麼；示範 row insertion 與 reverse bumping，證明兩方向都是 well-defined 且互為 inverses，推出 ∑_λ⊢n(f^λ)²=n!。

驗收：由 Q 如何找回最後插入的 cell？Reverse bumping 為什麼唯一？

限 permutation 版 RS，不加入 matrix 版 RSK 或 longest-subsequence theorem。

閱讀順序：S41 → 本題。

在已知 RS insertion 的基礎上，證明 first-row length 等於 longest increasing subsequence 的長度；說明逐次 insertion 的 invariant 並完成一個例子。

驗收：First row 本身是否必為原 permutation 的一條 subsequence？它真正記錄了什麼？

只證 Theorem 7.6.1 的 LIS 結論，不加入 LDS 與 transposition 的性質。