求矩陣的eigenvalue 以及 eigenvector，利用到的指令就是eig( )
這個指令很特別的一點是，這是你們學到的第一個需要設定輸出格式的指令。如果同學有興趣的話，可以使用
help eig或
doc eig來查詢更多資訊。
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如果在使用
eig( )的時候，不指定輸出格式，則只會得到矩陣的eigenvalues，如下面的例子。
對了！由於是新學期，怕同學已經忘記如何輸入矩陣，請看
教學
A = [-2, 0, 0; -5, -2, -5; 5, 0, 3]
eig( A )
輸出結果
A =
-2 0 0
-5 -2 -5
5 0 3
ans =
-2
3
-2
輸出的-2, 3, -2 即為eigenvalues，注意這邊的-2為重根。
剛剛提到了，不指定輸出格式，便只能得到eigenvalues，所以很明顯的，如果想求eigenvectors，必須要指定輸出格式為兩個變數才行，使用方法如下，注意這裡的lambda跟Ｖ是自己命名的，你也可以隨便打成[a, b]。
A = [-2, 0, 0; -5, -2, -5; 5, 0, 3]
[V, lambda] = eig (A)
可以得到答案
A =
-2 0 0
-5 -2 -5
5 0 3
V =
0 0 0.7071
1.0000 -0.7071 0
0 0.7071 -0.7071
lambda =
Diagonal Matrix
-2 0 0
0 3 0
0 0 -2
這邊得到的V是eigenvectors，而lambda是它對應的eigenvalues。
lambda的輸出格式是對角線矩陣，在其對角線上的數字們就是eigenvalues，而V會是一個跟A同樣尺寸的矩陣，他的每一個column都是一個A矩陣的eigenvector，而lambda中對應的column上的數字就是對應的eigenvalue。
這邊我們可以驗證一下。
（幫大家回憶一下我們在
前面說過的 ，
V(:,1)就是V矩陣的第1個column，而
lambda(1,1)就是lambda矩陣在(1, 1)位置上的數字。）
A * V(:,1)
lambda(1,1) * V(:,1)
可以看出來確實值是一樣的。
ans =
0
-2
0
ans =
0
-2
0
求矩陣的characteristic polynomial，利用到的指令就是poly( )
注意一下這個指令的輸出結果雖然是一個多項式，但他是以向量的方式呈現的。他輸出的向量由右到左的數字分別為：多項式的常數項、一次項、二次項...
A = [-2, 0, 0; -5, -2, -5; 5, 0, 3]
poly( A )
輸出結果
A =
-2 0 0
-5 -2 -5
5 0 3
ans =
1 1 -8 -12
輸出的 [1 1 -8 -12] 表示矩陣 A 的 characteristic polynomial 是 $\lambda^3+\lambda^2-8\lambda-12$。
其實如果你感覺敏銳的話，就會發現其實這節的內容我們在上一節已經教過了。若是給定一個矩陣$A$，希望找到一個invertible矩陣$C$跟一個diagoanal矩陣$D$，使得$D=C^{-1}AC$。
只要在使用eig()時，像是如下：
A = [-2, 0, 0; -5, -2, -5; 5, 0, 3]
[C, D] = eig (A)
就可以得到一個invertible矩陣$C$跟一個diagoanal矩陣$D$，使得$D=C^{-1}AC$。
A =
-2 0 0
-5 -2 -5
5 0 3
C =
0 0 0.7071
1.0000 -0.7071 0
0 0.7071 -0.7071
D =
-2 0 0
0 3 0
0 0 -2
你可以檢查一下
inv(C) * A * C
可以看出來結果確實跟$D$是一樣的。
ans =
-2.0000 0 0
0 3.0000 -0.0000
0 0 -2.0000
其實這節的內容我們在之前已經教過了，且有兩種做法。
1. 當我們使用eig (A)時，會給出所有的eigenvalue，也就是說我們直接數個數就好。
2. 我們也可以使用poly(A)，並計算出characteristic polynomial的根即可。
A = [-2, 0, 0; -5, -2, -5; 5, 0, 3]
eig (A)
就可以得到一個invertible矩陣$C$跟一個diagoanal矩陣$D$，使得$D=C^{-1}AC$。
A =
-2 0 0
-5 -2 -5
5 0 3
ans =
-2
3
-2
所以$A$有eigenvalue -2, -2, 3，其中3的algebraic multiplicity 為1，且-2的algebraic multiplicity 為2。
這個其實只要使用rref()求出$rref(A-\lambda I)$即可輕易算出。順便幫大家回憶一下，eye(n)就是$n \times n$的identity matrix。
這裡我們使用跟前一個觀念的同一個例子。
A = [-2, 0, 0; -5, -2, -5; 5, 0, 3]
rref( A - (-2)*eye(3) )
rref( A - (3)*eye(3) )
就可以得到$rref(A- (-2) I)$跟$rref(A-3 I)$。
A =
-2 0 0
-5 -2 -5
5 0 3
ans =
1 0 1
0 0 0
0 0 0
ans =
1 0 0
0 1 1
0 0 0
因為$rref(A-(-2)I)$只有一個pivot，所以eigenspace $E_{(-2)}$ 的dimension為2，也就是說$\lambda=3$的geometric multiplicity 為2。
因為$rref(A-3I)$有兩個pivot，所以eigenspace $E_{3}$ 的dimension為1，也就是說$\lambda=3$的geometric multiplicity 為1。