Ch 9-2 Diagonalization 在看習題解答前，建議先觀看Ch9的教學。 習題目錄：

• 9
• 23

Problem 9 Solve the linear system $Az=\begin{bmatrix}i\\1+i\\i\end{bmatrix}$ if $A=\begin{bmatrix} 1&i&1-i\\1&1&1+i\\0&-1+i&1 \end{bmatrix}$

                
                    format rat
                    A = [1, i, 1-i; 1, 1, 1+i; 0, -1+i, 1]
                    inv(A) * [i; 1+i; i]
                
            

            
                A =

                    1 +         0i          0 +         1i          1 -         1i
                    1 +         0i          1 +         0i          1 +         1i
                    0 +         0i         -1 +         1i          1 +         0i

                ans =

                   -7/10 +      9/10i
                    9/10 -      3/10i
                    3/5  -       1/5i
            
            

Problem 23 Find a vector of length 2 parallel to $[i, 1-i, 1+i, 1-i]$ 長度2的平行向量，只要先除以向量的長度，得到單位向量後，再乘以2即可。

            
                v = [i, 1-i, 1+i, 1-i]
                u = v / norm( v ) * 2
            
        

輸出結果

            
                v =

                    0 + 1i   1 - 1i   1 + 1i   1 - 1i

                u =

                        0 + 0.7559i   0.7559 - 0.7559i   0.7559 + 0.7559i   0.7559 - 0.7559i
            
        

這數字有點兒醜，我們可以試試這樣：

            
                v = [i, 1-i, 1+i, 1-i]
                norm( v )^2
                u = v * 2
            
        

輸出結果

            
                v =

                    0 + 1i   1 - 1i   1 + 1i   1 - 1i

                ans = 7.0000
                u =

                    0 + 2i   2 - 2i   2 + 2i   2 - 2i
            
        

所以就知道答案是 $[\frac{2i}{\sqrt{7}}, \frac{2-2i}{\sqrt{7}}, \frac{2+2i}{\sqrt{7}}, \frac{2-2i}{\sqrt{7}}]$ 或者是你也可以使用精確的符號形式

            
                v = sym([i, 1-i, 1+i, 1-i])
                u = simplify( v / norm( v ) * 2 )
            
        

輸出結果

            
                v = (sym) [ⅈ  1 - ⅈ  1 + ⅈ  1 - ⅈ]  (1×4 matrix)
                u = (sym 1×4 matrix)

                    ⎡2⋅√7⋅ⅈ  2⋅√7⋅(1 - ⅈ)  2⋅√7⋅(1 + ⅈ)  2⋅√7⋅(1 - ⅈ)⎤
                    ⎢──────  ────────────  ────────────  ────────────⎥
                    ⎣  7          7             7             7      ⎦