Ch 9-3 Diagonalization 在看習題解答前，建議先觀看Ch9的教學。 習題目錄：

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Problem 7 Find a unitary matrix $U$ and a diagonal matrix $D$ such that $D=U^{-1}AU$ for th egiven $A$. $$A=\begin{bmatrix} 1&2-2i&0\\2+2i&-1&0\\0&0&3 \end{bmatrix}$$ 使用精確的符號形式的矩陣，但是得到的答案U不會直接是unitary matrix，自己要再轉換一下。

                
                    A=sym([1, 2-2*i, 0; 2+2*i, -1,0; 0, 0, 3])
                    [ C , D ] = eig( A )
                
            

            
                A = (sym 3×3 matrix)

                    ⎡   1     2 - 2⋅ⅈ  0⎤
                    ⎢                   ⎥
                    ⎢2 + 2⋅ⅈ    -1     0⎥
                    ⎢                   ⎥
                    ⎣   0        0     3⎦

                C = (sym 3×3 matrix)

                    ⎡  1   ⅈ          ⎤
                    ⎢- ─ + ─  1 - ⅈ  0⎥
                    ⎢  2   2          ⎥
                    ⎢                 ⎥
                    ⎢   1       1    0⎥
                    ⎢                 ⎥
                    ⎣   0       0    1⎦

                D = (sym 3×3 matrix)

                    ⎡-3  0  0⎤
                    ⎢        ⎥
                    ⎢0   3  0⎥
                    ⎢        ⎥
                    ⎣0   0  3⎦
            
            

再來把C做成unitary matrix的形式。p.s.simplify()只是把U寫成比較漂亮的形式而已，對於答案沒有影響。

                
                    U = C;
                    U(:,1) = C(:,1) / norm( C(:,1) );
                    U(:,2) = C(:,2) / norm( C(:,2) );
                    U(:,3) = C(:,3) / norm( C(:,3) );
                    U = simplify( U )
                
            

            
                U = (sym 3×3 matrix)

                    ⎡√6⋅(-1 + ⅈ)  √3⋅(1 - ⅈ)   ⎤
                    ⎢───────────  ──────────  0⎥
                    ⎢     6           3        ⎥
                    ⎢                          ⎥
                    ⎢    √6           √3       ⎥
                    ⎢    ──           ──      0⎥
                    ⎢    3            3        ⎥
                    ⎢                          ⎥
                    ⎣     0           0       1⎦
            
            

Problem 13 Find all $a\in \mathbb{C}$ that the matrix $\begin{bmatrix}i&4\\a&i\end{bmatrix}$ is unitarily diagonalizable. 因為有變數$a$存在，所以先把矩陣用符號化的方式打出來。然後由定理9.7得知，A is unitarily diagonalizable iff A is normal。 所以只要確認$A^*A-AA^*$為零矩陣即可。

            
                syms a
                A=[ [i, 4] ; [a, i] ]
                A' * A - A * A'
            
        

輸出結果

            
                A = (sym 2×2 matrix)

                    ⎡ⅈ  4⎤
                    ⎢    ⎥
                    ⎣a  ⅈ⎦

                ans = (sym 2×2 matrix)

                    ⎡  _                 ⎤
                    ⎢a⋅a - 16      0     ⎥
                    ⎢                    ⎥
                    ⎢              _     ⎥
                    ⎣   0      - a⋅a + 16⎦
            
        

所以很明顯的，只要$|a|=4$即可讓$A^*A-AA^*$為零矩陣。