Ch 9-4 Jordan canonical form 在看習題解答前，建議先觀看Ch9的教學。 習題目錄：

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• 24
• 29

Problem 19 Find a Jordan canonical form and a Jordan basis for the given matrix. $\begin{bmatrix} 2&5&0&0&0\\ 0&2&0&0&0\\ 0&0&-1&0&-1\\ 0&0&0&-1&0\\ 0&0&0&0&-1 \end{bmatrix}$

        
            A = sym([2 5 0 0 1;0 2 0 0 0;0 0 -1 0 0;0 0 0 -1 0;0 0 0 0 -1])
            [V, J] = jordan(A)
        
        

就可以得到:

        
            A = (sym 5×5 matrix)

                ⎡2  5  0   0   0 ⎤
                ⎢                ⎥
                ⎢0  2  0   0   0 ⎥
                ⎢                ⎥
                ⎢0  0  -1  0  -1 ⎥
                ⎢                ⎥
                ⎢0  0  0   -1  0 ⎥
                ⎢                ⎥
                ⎣0  0  0   0   -1⎦

            V = (sym 5×5 matrix)

                ⎡0  0   0    5  0⎤
                ⎢                ⎥
                ⎢0  0   0    0  1⎥
                ⎢                ⎥
                ⎢-1 0   0    0  0⎥
                ⎢                ⎥
                ⎢0  0   1    0  0⎥
                ⎢                ⎥
                ⎣0  1   0    0  0⎦

            J = (sym 5×5 matrix)

                ⎡-1  1   0   0  0⎤
                ⎢                ⎥
                ⎢0   -1  0   0  0⎥
                ⎢                ⎥
                ⎢0   0   -1  0  0⎥
                ⎢                ⎥
                ⎢0   0   0   2  1⎥
                ⎢                ⎥
                ⎣0   0   0   0  2⎦
        
        

讓我們檢查一下

            
                b1=V(:,1)
                b2=V(:,2)
                b3=V(:,3)
                b4=V(:,4)
                b5=V(:,5)
                ( A * b1 ) - ( (-1) * b1 )
                ( A * b2 ) - ( (-1) * b2 + b1 )
                ( A * b3 ) - ( (-1) * b3 )
                ( A * b4 ) - (   2  * b4 )
                ( A * b5 ) - (   2  * b5 + b4 )
            
        

就可以得到:

        
            b1 = (sym 5×1 matrix)

                ⎡0 ⎤
                ⎢  ⎥
                ⎢0 ⎥
                ⎢  ⎥
                ⎢-1⎥
                ⎢  ⎥
                ⎢0 ⎥
                ⎢  ⎥
                ⎣0 ⎦

            b2 = (sym 5×1 matrix)

                ⎡0⎤
                ⎢ ⎥
                ⎢0⎥
                ⎢ ⎥
                ⎢0⎥
                ⎢ ⎥
                ⎢0⎥
                ⎢ ⎥
                ⎣1⎦

            b3 = (sym 5×1 matrix)

                ⎡0⎤
                ⎢ ⎥
                ⎢0⎥
                ⎢ ⎥
                ⎢0⎥
                ⎢ ⎥
                ⎢1⎥
                ⎢ ⎥
                ⎣0⎦

            b4 = (sym 5×1 matrix)

                ⎡5⎤
                ⎢ ⎥
                ⎢0⎥
                ⎢ ⎥
                ⎢0⎥
                ⎢ ⎥
                ⎢0⎥
                ⎢ ⎥
                ⎣0⎦

            b5 = (sym 5×1 matrix)

                ⎡0⎤
                ⎢ ⎥
                ⎢1⎥
                ⎢ ⎥
                ⎢0⎥
                ⎢ ⎥
                ⎢0⎥
                ⎢ ⎥
                ⎣0⎦

            ans = (sym 5×1 matrix)

                ⎡0⎤
                ⎢ ⎥
                ⎢0⎥
                ⎢ ⎥
                ⎢0⎥
                ⎢ ⎥
                ⎢0⎥
                ⎢ ⎥
                ⎣0⎦

            ans = (sym 5×1 matrix)

                ⎡0⎤
                ⎢ ⎥
                ⎢0⎥
                ⎢ ⎥
                ⎢0⎥
                ⎢ ⎥
                ⎢0⎥
                ⎢ ⎥
                ⎣0⎦

            ans = (sym 5×1 matrix)

                ⎡0⎤
                ⎢ ⎥
                ⎢0⎥
                ⎢ ⎥
                ⎢0⎥
                ⎢ ⎥
                ⎢0⎥
                ⎢ ⎥
                ⎣0⎦

            ans = (sym 5×1 matrix)

                ⎡0⎤
                ⎢ ⎥
                ⎢0⎥
                ⎢ ⎥
                ⎢0⎥
                ⎢ ⎥
                ⎢0⎥
                ⎢ ⎥
                ⎣0⎦

            ans = (sym 5×1 matrix)

                ⎡0⎤
                ⎢ ⎥
                ⎢0⎥
                ⎢ ⎥
                ⎢0⎥
                ⎢ ⎥
                ⎢0⎥
                ⎢ ⎥
                ⎣0⎦
        
        

所以這些 $\vec{b}_1, \vec{b}_2, \vec{b}_3, \vec{b}_4, \vec{b}_5$ 確實是我們要的 Jordan basis。

Problem 24 Let $A=\begin{bmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{bmatrix}$, Compute $A^2, A^3$ and $A^4$.

            
                A = [0 1 0 0 ; 0 0 1 0; 0 0 0 1; 0 0 0 0]
                A^2
                A^3
                A^4
            
        

輸出結果

            
                A =

                    0   1   0   0
                    0   0   1   0
                    0   0   0   1
                    0   0   0   0

                ans =

                    0   0   1   0
                    0   0   0   1
                    0   0   0   0
                    0   0   0   0

                ans =

                    0   0   0   1
                    0   0   0   0
                    0   0   0   0
                    0   0   0   0

                ans =

                    0   0   0   0
                    0   0   0   0
                    0   0   0   0
                    0   0   0   0
            
        

Problem 29 Let $A=\begin{bmatrix}-1&1&0&0&0\\0&-1&1&0&0\\0&0&-1&0&0\\0&0&0&i&0\\0&0&0&0&i\end{bmatrix}$. Find a polynomial in $A$ (that is the sum of terms $a_jA^j$ with a term $a_0I$) that gives the zero matrix.

            
                A = [-1 1 0 0 0; 0 -1 1 0 0; 0 0 -1 0 0;0 0 0 i 0; 0 0 0 0 i ]
                poly(A)
            
        

輸出結果

            
                A =

                    -1 + 0i   1 + 0i   0 + 0i   0 + 0i   0 + 0i
                    0 + 0i  -1 + 0i   1 + 0i   0 + 0i   0 + 0i
                    0 + 0i   0 + 0i  -1 + 0i   0 + 0i   0 + 0i
                    0 + 0i   0 + 0i   0 + 0i   0 + 1i   0 + 0i
                    0 + 0i   0 + 0i   0 + 0i   0 + 0i   0 + 1i

                ans =

                    1 + 0i   3 - 2i   2 - 6i  -2 - 6i  -3 - 2i  -1 + 0i
            
        

意思是$A$的charistic polynomial是$p_A(x)=x^5 + (3-2i)x^4+(2-6i)x^3+(-2-6i)x^2+(-3-2i)x+(-1)$。或是你直接只用來驗證自己的答案也可以。 因此$A^5 + (3-2i)A^4+(2-6i)A^3+(-2-6i)A^2+(-3-2i)A+(-1)I$就會是零矩陣。讓我們檢查一下：

            
                A^5 + (3-2*i) * A^4 + (2-6*i) * A^3 + (-2-6*i) * A^2 + (-3-2*i) * A + (-1) * eye(5)
            
        

輸出結果

            
                ans =

                    0   0   0   0   0
                    0   0   0   0   0
                    0   0   0   0   0
                    0   0   0   0   0
                    0   0   0   0   0