For the given matrix below, find
(a) the rank of the matrix,
(b) a basis for the row space,
(c) a basis for the column space, and
(d) a basis for the nullspace.
$$\begin{bmatrix}
0&6&6&3\\
1&2&1&1\\
4&1&-3&4\\
1&3&2&0
\end{bmatrix}$$
輸入
A = [0, 6, 6, 3; 1, 2, 1, 1;4, 1, -3, 4; 1, 3, 2, 0]
rank( A )
rref( A )
null( A )
輸出結果
A =
0 6 6 3
1 2 1 1
4 1 -3 4
1 3 2 0
ans = 3
ans =
1 0 -1 0
0 1 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0
ans =
-5.7735e-01
5.7735e-01
-5.7735e-01
-4.9960e-16
(a) 由 rank(A) = 3 ，我們可知 the rank of the matrix 為 3 。
(b) 由 rref( A ) 的結果，a basis for the row space 就直接取rref(A)中非零向量的row vectors就好，所以有一組是
$\{[1, 0, -1, 0], [0, 1, 1, 0], [0, 0, 0, 1]\}$
(c) 由 rref( A ) 的結果，a basis for the column space 就看rref(A)中pivot在哪幾個column，然後取對應的A中的column vectors即可。
(d) 由 rref( A ) 的結果，計算出結果。
或是因為觀察到null(A)的向量有個關係，前三項的值幾乎一樣，差個正負號而已，
第四項幾乎是0，所以猜測一下，代回驗證可得 $\begin{bmatrix}1\\-1\\1\\0\end{bmatrix}$
這裡順便幫大家回憶一下，如果想要取這些向量，該如何著手。
R=rref( A );
display("basis of the row space")
R(1,:)
R(2,:)
R(3,:)
display("basis of the column space")
A(:,1)
A(:,2)
A(:,4)
a = null(A);
display("basis of the nullspace")
null(A) / a(1)
display("check")
n=[1; -1; 1; 0]
A*n
輸出結果
basis of the row space
ans =
1 0 -1 0
ans =
0 1 1 0
ans =
0 0 0 1
basis of the column space
ans =
0
1
4
1
ans =
6
2
1
3
ans =
3
1
4
0
basis of the nullspace
ans =
1.0000e+00
-1.0000e+00
1.0000e+00
8.6533e-16
check
n =
1
-1
1
0
ans =
0
0
0
0
Determine whether the given matrix is invertible, by finding its rank.
$$\begin{bmatrix}
0&-9&-9& 2\\
1& 2& 1& 1\\
4& 1&-3& 4\\
1& 3& 2& 0
\end{bmatrix}$$
輸入
A = [0, -9, -9, 2;1, 2, 1, 1;4, 1, -3, 4;1, 3, 2, 0]
rank( A )
inv( A )
輸出結果
A =
0 -9 -9 2
1 2 1 1
4 1 -3 4
1 3 2 0
ans = 3
warning: matrix singular to machine precision, rcond = 1.4803e-17
ans =
* * * *
* * * *
* * * *
1/14 12/7 -3/14 -6/7
因為矩陣是$4 \times 4$的，第一個ans告知我們矩陣的rank為$3 \neq 4$，所以此矩陣沒有inverse matrix。
後面第二個答案前面的warming也告知了此矩陣是 singular的。