Assume that $T$ is a linear transformation.
If $T([1, 2, -3])=[1, 0, 4, 2], T([3, 5, 2])=[-8, 3, 0, 1]$,
and $T([-2, -3, -4])=[0, 2, -1, 0]$,
find $T([5, -1, 4])$
這題在使用octave之前，需要稍微講解一下。
假設矩陣$A$是$T$的standard matrix representation，那麼題目可以翻譯為
$$T(\begin{bmatrix}1\\2\\-3\end{bmatrix})=A\begin{bmatrix}1\\2\\-3\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}1\\0\\4\\2\end{bmatrix},~
T(\begin{bmatrix}3\\5\\2\end{bmatrix})=A\begin{bmatrix}3\\5\\2\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}-8\\3\\0\\1\end{bmatrix},~
T(\begin{bmatrix}-2\\-3\\-4\end{bmatrix})=A\begin{bmatrix}-2\\-3\\-4\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}0\\2\\-1\\0\end{bmatrix},
$$
也就是說，其實我們可以得到
$$A\begin{bmatrix}
1& 3&-2\\
2& 5&-3\\
-3& 2&-4
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
1&-8& 0\\
0& 3& 2\\
4& 0&-1\\
2& 1& 0
\end{bmatrix}
$$
所以
$$A=
\begin{bmatrix}
1&-8& 0\\
0& 3& 2\\
4& 0&-1\\
2& 1& 0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1& 3&-2\\
2& 5&-3\\
-3& 2&-4
\end{bmatrix}^{-1}
$$
因此，$$T(\begin{bmatrix}5\\-1\\4\end{bmatrix})
=A\begin{bmatrix}5\\-1\\4\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
1&-8& 0\\
0& 3& 2\\
4& 0&-1\\
2& 1& 0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1& 3&-2\\
2& 5&-3\\
-3& 2&-4
\end{bmatrix}^{-1}
\begin{bmatrix}5\\-1\\4\end{bmatrix}$$
輸入
B = [1, 3, -2;2, 5, -3;-3, 2, -4]
C = [1, -8, 0; 0, 3, 2; 4, 0, -1; 2,1, 0]
v = [5; -1; 4]
C * inv(B) * v
輸出結果
B =
1 3 -2
2 5 -3
-3 2 -4
C =
1 -8 0
0 3 2
4 0 -1
2 1 0
v =
5
-1
4
ans =
802
-477
398
57
由此可知 $T([5, -1, 4])=[802, -477, 398, 57]$