Find the characteristic polynomial, the real eigenvalues, and the corresponding eigenvectors of the given matrix.
$$\begin{vmatrix}
2&0&0\\1&-1&-2\\-1&0&1
\end{vmatrix}$$
輸入
A = [2, 0, 0; 1, -1, -2; -1, 0, 1]
poly(A)
[V, lambda] = eig(A)
輸出結果
A =
2 0 0
1 -1 -2
-1 0 1
ans =
1 -2 -1 2
V =
0 0 0.5774
1.0000 -0.7071 0.5774
0 0.7071 -0.5774
lambda =
Diagonal Matrix
-1 0 0
0 1 0
0 0 2
那麼就知道矩陣的 characteristic polynomial 是 $\lambda^3-2\lambda^2-\lambda+2$。
並且第一個 eigenvalue $\lambda_1=-1$，有一個eigenvector $\vec{v}_1=\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}$。
第二個 eigenvalue $\lambda_2=1$，有一個eigenvector $\vec{v}_2=\begin{bmatrix}0\\-0.7071\\0.7071\end{bmatrix}$。
第三個 eigenvalue $\lambda_3=2$，有一個eigenvector $\vec{v}_3=\begin{bmatrix}0.5774\\0.5774\\-0.5774\end{bmatrix}$。
當然在這裡你會注意到，這邊的答案都只是給出一個eigenvector的可能，而且還是用小數表示的，像是0.7071其實是$\frac{1}{\sqrt{2}}$的小數表示。
但是稍微除一下， V(2, 2) / V(3, 2)，就很容易得到答案是 -1，所以就可以化簡 $\vec{v}'_2=\begin{bmatrix}0\\-1\\1\end{bmatrix}$。或是你直接只用來驗證自己的答案也可以。
當然，也許你會詢問，有沒有不要這麼拚直覺的方式？有的，我們可以用符號形式的方式做。
A = sym ( [2, 0, 0; 1, -1, -2; -1, 0, 1] )
[V, lambda] = eig(A)
輸出結果
A = (sym 3×3 matrix)
⎡2 0 0 ⎤
⎢ ⎥
⎢1 -1 -2⎥
⎢ ⎥
⎣-1 0 1 ⎦
V = (sym 3×3 matrix)
⎡0 0 -1⎤
⎢ ⎥
⎢1 -1 -1⎥
⎢ ⎥
⎣0 1 1 ⎦
lambda = (sym 3×3 matrix)
⎡-1 0 0⎤
⎢ ⎥
⎢0 1 0⎥
⎢ ⎥
⎣0 0 2⎦
不過我推薦你用正規的方式做。
在前面已經算出eigenvalues的狀況下，我們可以利用$rref(A-\lambda I)$去解出eigenvector
輸入
rref(A-(-1)*eye(3))
rref(A-eye(3))
rref(A-2*eye(3))
輸出結果
ans =
1 0 0
0 0 1
0 0 0
ans =
1 0 0
0 1 1
0 0 0
ans =
1 0 1
0 1 1
0 0 0
由$rref(A-\lambda I)$去解出eigenvector，這部分應該就是簡單的了。