Ch 5-2 Diagonalization 在看習題解答前，建議先觀看Ch5的教學。 習題目錄：

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Problem 9 Determine whether the given matrix is diagonalizable. $$\begin{vmatrix} 1&2&6\\2&0&-4\\6&-4&3 \end{vmatrix}$$ 輸入

            
                A = [1, 2, 6; 2, 0, -4; 6, -4, 3]
                [C, D] = eig(A)
            
        

輸出結果

            
                A =

                    1   2   6
                    2   0  -4
                    6  -4   3

                C =

                    -0.6019   0.5627   0.5667
                     0.5346   0.8111  -0.2375
                     0.5933  -0.1600   0.7889

                D =

                    Diagonal Matrix

                      -6.6909        0        0
                            0   2.1766        0
                            0        0   8.5143
            
        

當然其實由$C, D$就可以看出來矩陣$A$是可以diagonalize的。 但更精確地講，由$D$可以知道矩陣$A$的三個eigenvalue都不一樣，再利用 Theorem 5.3 可以確定矩陣$A$是可以diagonalize的。

Problem 10 Determine whether the given matrix is diagonalizable. $$\begin{vmatrix} 3&1&0\\0&3&1\\0&0&3 \end{vmatrix}$$ 輸入

            
                A = [3, 1, 0;0, 3, 1;0, 0, 3]
                [C, D] = eig(A)
            
        

輸出結果

            
                A =

                    3   1   0
                    0   3   1
                    0   0   3

                C =

                       1.0000  -1.0000   1.0000
                            0   0.0000  -0.0000
                            0        0   0.0000

                D =

                Diagonal Matrix

                    3   0   0
                    0   3   0
                    0   0   3
            
        

當然其實由$C$就可以看出來矩陣$A$是不可以diagonalize的。但是如果我們想要有更準確的講法，我們可以看$A-3I$的rref。

            
                rref(A-3*eye(3))
            
        

輸出結果

            
                ans =

                    0   1   0
                    0   0   1
                    0   0   0
            
        

因為$rref(A-3I)$有兩個pivot，所以eigenspace $E_{3}$ 的dimension為1，也就是說$\lambda=3$的geometric multiplicity 為1。 可是$D$的對角線上有三個3，意即$\lambda=3$的algebraic multiplicity 為3。 由Theorem 5.4 可知，矩陣$A$是不可以diagonalize的。